La función Lambda de Hans von Mangoldt [Λ(n)]: definición, propiedades y relevancia

Hans Carl Friedrich von Mangoldt

La función de von Mangoldt, denotada por Λ(n), es una función aritmética central en la teoría analítica de números, introducida por el matemático alemán Hans von Mangoldt en el siglo XIX. Su papel es fundamental en el estudio de la distribución de los números primos, especialmente en contextos como la fórmula explícita de Riemann y el Teorema de los Números Primos.

Definición formal

La función de von Mangoldt está definida para cada número natural $n \ge 1$ como:

$$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p & \text{si } n = p^k \text{ para algún primo } p \text{ y entero } k \ge 1, \\ 0 & \text{en otro caso.} \end{cases}$$

Esto significa que $\Lambda(n)$ es distinta de cero solo cuando $n$ es una potencia de un número primo, a continuación un ejemplo con los primeros números naturales:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
1^1	2^1	3^1	2^2	5^1	2*3	7^1	2^3	3^2	2*5	11^1	2^2*3	13^1	2*7	3*5	2^4
0*	log2	log3	log2	log5	0	log7	log2	log3	0	log11	0	log13	0	0	log2

* Para los defensores de la primalidad de 1, igualmente log(1)=0

Motivación e intuición

El objetivo de esta función es "refinar" la información sobre los números primos al incluir no solo a los primos en sí, sino también a sus potencias. Este detalle es crucial en contextos analíticos porque, aunque las potencias de primos son más raras, su inclusión hace que ciertas fórmulas tengan un comportamiento más "suave" y se puedan expresar mediante sumas o integrales más manejables.

Relación con otras funciones aritméticas

Una propiedad fundamental de $\Lambda(n)$ es su papel en la identidad de logaritmos a través de la función zeta de Riemann, a modo de spoiler:

$$- \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda(n)}{n^s}$$

válida para $\operatorname{Re}(s) > 1$.

Esta relación muestra que $\Lambda(n)$ actúa como un "peso logarítmico" que refleja la estructura multiplicativa de los números naturales. La presencia de $\zeta (s)$, la función zeta de Riemann, resalta la conexión profunda entre $\mathrm{\Lambda }(n)$ y la distribución de primos a través de los ceros de esta función de Riemann.

Función Λ para el rango 1<n<250

La fórmula de Chebyshev y la función $\psi(x)$

Otra manera poderosa de ver la función de von Mangoldt es a través de la función de Chebyshev de primera especie, definida como:

$$\psi(x) = \sum_{n \le x} \Lambda(n)$$

A diferencia de la función $\pi (x)$, que simplemente cuenta cuántos números primos hay hasta $x$, la función $\psi (x)$ acumula los logaritmos de todos los primos y de sus potencias menores o iguales a x. Este enfoque suaviza las fluctuaciones en la distribución de los primos y desempeña un papel fundamental en la demostración del Teorema de los Números Primos.

Función ψ para el rango 1<n<250

Interpretación en términos de factorización

Otra forma de entender la función $\mathrm{\Lambda }(n)$ es observar que, para todo $n$, se cumple la identidad:

$$\log n = \sum_{d \mid n} \Lambda(d)$$

Esta relación fundamental se deduce directamente de la factorización única en primos. Por ejemplo, si $n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \dots p_r^{a_r}$, entonces los divisores $d$ de $n$ que son potencias de primos concentran toda la información necesaria para reconstruir $\log n$. Esta identidad muestra cómo$\mathrm{\Lambda }(\mathrm{d)\; actúa\; como\; un\; filtro\; que\; selecciona\; solo\; los\; factores\; primos\; relevantes\; en\; cada\; número.}$

Ejemplo práctico

Consideremos 

$n = 12 = 2^2 \cdot 3$.       Sus divisores son: $\{1, 2, 3, 4, 6, 12\}$.

• $\Lambda(1) = 0$,

• $\Lambda(2) = \log(2)$,

• $\Lambda(3) = \log(3)$,

• $\Lambda(4) = \log(2)$,

• $\Lambda(6) = 0$,

• $\Lambda(12) = 0$.

Sumamos:

log(2)+log(3)+log(2) = 2log(2)+log(3) = log(4)+log(3) = log(12) que verifica la identidad.

Importancia analítica

La función de von Mangoldt es indispensable para los estudios que en futuro expondremos como:

• La formulación y demostración de la fórmula explícita de Riemann, que conecta los ceros de $\zeta(s)$ con la distribución de primos.

• El estudio del Teorema de los Números Primos mediante equivalencias que utilizan $\psi(x)$.

• La teoría de criba y métodos de conteo aproximado de primos.

Conclusión

La función de von Mangoldt $\Lambda(n)$ representa una sofisticada herramienta matemática que encapsula la esencia de la factorización prima de los números enteros, no solo considerando los primos aislados, sino extendiendo la estructura hasta sus potencias. Su aparición en identidades profundas y su relación íntima con la función zeta de Riemann la convierten en un pilar fundamental para la comprensión de la distribución de los números primos, tema que será próximo a mis publicaciones.